주위에 수학과가 있다면, 

그들의 입을 막아버리는 마법의 한 문장이 있다.

그걸 한번 소개해볼까한다.

그 문장은 다음과 같다.

"스킴이 뭔가요?"

그럼 그 학생은 말이 턱 막힌 채 아주 큰 한숨을 쉴 것이다.

궁극적인 질문） 스킴은 무엇인가요?

답） 국소적으로 아핀 스킴과 동형인 공간입니다.

1. 아핀 스킴은 무엇입니까?

단순하게는 임의의 환의 스펙트럼. 여기에 자리스키 위상과 구조층을 정의되어야 합니다.

1.1 환이란 무엇입니까?

아벨군과 모노이드 구조를 동시에 이루며, 두 구조가 호환하는 구조를 말합니다.

1.1.1 모노이드란 무엇입니까?

#라는 연산자가 있다고 가정합시다. 만약 다음의 집합이 이 조건을 만족하면 모노이드라고 부릅니다.

1） 임의의 a에 대해서 a#e = e#a = a 를 만족하는 e가 존재한다. 이 원소를 항등원이라 한다.

2） 임의의 a,b,c에 대해서 （a#b）#c = a#（b#c）를 만족한다. 이 성질을 결합법칙이라 한다.

모노이드의 대표적인 예제로는, 덧셈 연산자 아래, 0을 포함한 자연수나, 곱셈 연산자 아래의 자연수가 있습니다.

1.1.2 아벨군이란 무엇입니까?

앞서 말한 모노이드에 다음의 조건이 추가됩니다.

3） 임의의 a에 대해서 a#b = b#a = e 를 만족하는 원소 b가 존재한다. 이 원소를 a의 역원이라 한다.

4） 임의의 a,b에 대해서 a#b = b#a 는 항상 성립한다.

아벨군의 대표적인 예제로는, 덧셈 연산자 아래 정수, 곱셈 연산자 아래 0을 제외한 유리수가 있습니다.

1.1.3 호환하는 구조란 무엇입니까?

해당 구조에 두 개의 다른 연산자가 있어, 분배법칙을 성립하는 구조를 말합니다.

즉, （a + b） x c = a x c + b x c 라는 성질과

a x （b + c） = a x b + a x c 라는 성질을 만족합니다.

1.1.（최종） 그러므로 환이란?

두 연산자가 정의되어 있어, 한 연산자 아래에는 아벨군, 다른 연산자 아래는 모노이드, 그리고 두 연산자가 호환하는 구조입니다.

대표적으로는 +, x 아래의 정수가 있습니다. 정수는 덧셈아래 아벨군, 곱셈 아래 모노이드며, 덧셈과 곱셈은 분배법칙을 만족하기 때문입니다.

대개 정수환은 Z라고 표현합니다.

1.2 스펙트럼이란 무엇입니까?

임의의 환의 소 아이디얼들의 집합을 말합니다.

1.2.1 아이디얼이란 무엇입니까?

임의의 환 R에 대해서, 다음의 조건을 만족하는 R의 부분집합 I를 아이디얼이라 정의합니다.

1） I는 덧셈아래 아벨군을 이룬다. （1.1.2 참고）

2） 임의의 R의 원소 r과 임의의 I의 원소 i에 대해서 ri 는 I의 원소이다. 이를 곱셈아래 닫혀있다고 표현한다.

대표적인 예제로는 1.1.（최종）에서 거론했던 정수환 Z에서 2의 배수의 집합의 경우 아이디얼을 이루며, 이를 2Z라고 표현합니다. 마찬가지로 n의 배수의 집합의 경우 이를 nZ라고 표현합니다.

1.2.2 소 아이디얼이란 무엇입니까?

환 R에 대해서 어떤 아이디얼 p가 다음의 성질을 만족하면 소 아이디얼이라 정의합니다.

만약 ab 가 p의 원소라면, a가 p의 원소이거나 b가 p의 원소여야 한다.

대표적인 소 아이디얼의 예제로는 정수환에서 소수 p에 대해서 pZ가 있습니다.

1.2.（최종） 그러므로 스펙트럼이란?

임의의 환에 대해서, 소수의 성질과 유사한 아이디얼, 이른바 소아이디얼의 집합이다. 임의의 환 R에 대해서 스펙트럼을 Spec A라고 표기한다.

1.3.1 위상이란 무엇입니까?

X를 집합이라 하고, T가 X의 부분집합의 집합이라 하고, T에 대해서 다음의 성질이 만족한다고 가정합시다.

1） 전체 집합 X와 공집합이 T의 원소다.

2） T의 원소들의 합집합은 여전히 T의 원소다.

3） 임의의 두 T의 원소들의 교집합 역시 여전히 T의 원소다.

이 경우 T를 X의 위상（topology）라고 정의합니다. 그리고 이 위상에서 T에 포함된 U에 대해서 U는 X의 열린집합이라 정의합니다. 반대로, V의 여집합이 T의 원소로 있다면 V는 X의 닫힌집합이라 정의합니다. 공집합과 전체집합의 경우는 열려있으며 닫혀있는 집합입니다.

1.3.2 자리스키 위상이란 무엇입니까?

스펙트럼에 한정하는 경우, Spec A의 열린집합과 닫힌집합은 다음과 같이 정의합니다.

1） 임의의 A의 아이디얼 I에 대해서 I를 포함하는 모든 소아이디얼들의 집합은 닫힌 집합이다.

2） 임의의 A의 원소 f에 대해서 f를 포함하지 않는 모든 소아이디얼들의 집합은 열린 집합이다.

이렇게 정의된 위상을 자리스키 위상이라고 합니다.

1.3.（최종） 그러므로 위상은 무엇입니까?

어떤 집합에 열려있는 공간, 닫혀있는 공간을 정의함으로서, 집합을 하나의 공간으로 인식해주는 것입니다. 집합에 위상이 정의되면, 이는 위상공간이라고 부릅니다.

1.4 구조층（Structure Sheaf）이란 무엇입니까?

구조층이란, 붙임성질（Gluing property）을 만족하는 pre-sheaf 입니다.

1.4.1 Pre-sheaf란 무엇입니까?

위상공간 X와 임의의 열린집합 U에 대해서, pre-sheaf F는 다음과 같이 정의됩니다.

1） F（U）는 환입니다. （대개 U에서 정의된 함수들의 환이라고 가정합니다.）

2） 열린 집합 V가 있어, V가 U를 포함한다면, r_{VU）: F（V） -> F（U）로 가는 restriction map이 있어, 다음의 성질을 만족합니다.

2.i） F（∅） = 0

2.ii） r_{UU} 는 항등함수

2.iii） W,V,U가 열린 공간이고, W가 V에, V가 U에 포함되어 있다면 r_{VW} o r_{UV} = r_{UW}

1.4.2 붙임성질이란 무엇입니까?

Pre-sheaf에 다음의 성질을 추가합니다. 

위상공간 X의 열린 공간 U를 잡고, U 가 U_i 들의 합집합이라고 가정한다.

F（U_i）에 f_i라는 원소와 F（U_j）에 f_j라는 원소가 있어, U_i와 U_j의 교집합에서 f_i와 f_j가 일치한다면,

F（U）에 다음을 만족하는 원소 f가 유일하게 존재한다. f는 U_i에 제한했을 때는 f_i와, U_j에 제한했을 때는 f_j와 일치한다.

이 성질을 붙임 성질이라 부릅니다.

1.4.（최종） 그러므로 층은 무엇입니까?

위상공간의 각 점에서의 국소적 구조를 붙인 것입니다.

2. 국소적의 의미란 무엇입니까?

일반적으로는 조금씩 차이가 있지만, 대수기하의 경우는, X라는 집합의 임의의 열린 집합을 말합니다.

즉, 스킴의 경우는, 스킴이 위상 공간이므로 열린 집합/공간들이 정의되어질 수 있고

더 나아가, 스킴은 열린 집합들의 합집합으로 표현이 되어질 수 있는데

이 때, 이 열린 집합들 하나하나가 아핀 스킴과 동형임을 말합니다.

3. 동형이란 무엇입니까?

임의의 두 구조 X와 Y에 대해서 적절한 두 사상 f:X->Y와 g:Y->X가 있어, f와 g가 서로의 역사상이라면 X와 Y의 구조는 정확히 일치한다고 여기고, 구조적으로는 둘이 구분이 불가능하며, 이 경우 동형이라고 부릅니다.

3.1 사상이란 무엇입니까?

일반적으로, 함수의 더 넓은 개념입니다. 임의의 범주 C는 대상（대수적 구조, 집합, 환, 아벨군 따위）과 사상（두 대상 사이의 함수）의 모임으로, 각 사상은 정의역과 공역을 갖는데, 이는 둘 다 범주 C에 포함되어있는 대상입니다. 예컨대 범주 C의 두 대상 X,Y에 대해서 X에서 Y로 가는 모든 사상의 집합을 hom_C（X,Y）라고 정의합니다. 사상은 앞서 소개한 결합법칙을 만족하고, 임의의 대상 X에 대해서 hom_C（X,X）는 무조건적으로 항등사상을 포함해야 합니다. 

최종） 그러므로 스킴은 무엇입니까?

기본적으로 위상 공간이며, 적절한 열린 집합들의 모임이 있어, 각 열린 집합은, 집합론적 관점으로는 적절한 환의 스펙트럼, 즉 소아이디얼들의 집합과 같으며, 자리스키 위상이 있어, 원소 혹은 아이디얼을 포함하느냐 안하느냐로 개폐여부를 정의할 수 있고, 또한 앞서 소개했던 구조층이 잘 정의되어 있는, 이른바 아핀 스킴과 동형인 구조를 일컫습니다.

최종의 최종） 이거 알아서 어디다 쓰나요?

어... 그건...