[수학특집] 무한이란 무엇일까?

제 2편: 알레프 제로

들어가기에 앞서 정말 많은 분들에게서 잘 봤다는 쪽지와 댓글을 받았습니다. 과분한 관심과 사랑 정말로 감사드립니다.
또한 여러 분들로부터 수학에 관련된 질문을 담은 쪽지도 받았습니다. 저의 답변이 도움이 많이 되었길 감히 바랍니다.

간단한 함수론 （인젝션/서젝션/바이젝션）

우리는 이제 간단한 함수들에 대해서 다룰거야. 아마 예전에 함수에 대해서 배웠을 때, 정의역이 뭐고 치역이 뭐고 참 많이들 헷갈렸었지? 오늘은 간단한 그림으로 설명할테니까 너무 겁먹지들 마.

일단 함수가 뭔지에 대해서 간단하게 복습해보면, 함수는 임의의 값을 임의의 값으로 보내는 하나의 약속이야. 말이 조금 어렵지? 예를 들어볼게.

f（x） = 2x 가 함수라는 건 아마 배웠을거야. 왜?
x = 1이면 f（1） = 2고, x = 3이면, f（3） = 6 등, 정해진 값만 딱딱 나오잖아, 마치 우리가 약속이라도 해둔 듯.
반면 f（x） = ± x 라면, 얘기가 달라지지, x = 1이면, f（x）는? 1? -1? 값이 다른 두개나 나와버리잖아. 이러면 함수가 아니야.
함수의 정의） 정의역（X의 집합）에 포함된 모든 x값에 따라 치역（Y의 집합）에 포함된 하나의 y=f（x）값을 갖는다!
수학자들은 이걸 멋내나게 （∀x∈X,∃!y∈Y|f（x）=y） 라고 써.


（수학자를 꿈꾸다가 12살에 멘붕이 된 박모군.）

어느 함수 f가 집합 A를 집합 B로 보낸다고 가정하자. 수학적인 표기법으로는 f:A->B 라고 써. （화살표 심볼이 타자기에는 없네 ㅠㅠ）
그랬을 때...

첫번째 그림은 그냥 일반적인 함수야. 이건 무시해도 되고
두번째 그림이 인젝티브 함수（Injective Function）인데 쉬운 말로는 원투원（1 - 1）이라고들 표현해. 모든 A의 원소들이 "개별적"인 하나의 B의 원소들에 상응하지. 즉 하나가 하나씩, 축구로 말하면 전담마크! 이런 경우는 인젝션.
세번째 그림은 서젝티브 함수（Surjective Function）인데 쉬운 말로는 온투（onto）라고 해. B의 모든 원소들이 상응하는 A의 원소들이 있지. 모든 B의 원소들이 함수의 결과값에 사용되어졌다는 거야. 두번째 그림으로 다시 돌아가보면 B에 하나 남는 원소가 있지? 그래서 두번째 그림은 서젝션은 아니야.
하지만 세번째 그림은 인젝션은 아니야. 왜냐하면, A의 세번째와 네번째 원소가 B의 하나의 원소로 배정되어졌잖아? 즉 여기선 원투원이 아니라 투투원이 되어졌지. 그래서 인젝션은 아니게 돼.
마지막으로 네번째 그림은 인젝션이면서 서젝션이야. B의 모든 원소가 쓰여졌고 모두 원투원이지. 이런 경우는 바이젝션이라 부르고 함수를 바이젝티브 함수（Bijective Function）이라고 일컬어. 만약 집합 A와 집합 B사이에 바이젝션이 만들어진다면, 집합 A와 집합 B의 크기가 같다는 의미이기도 해.

（수학자들의 대화에 끼지 못하고 실의에 빠진 시민 홍씨）

근데 갑자기 왜 함수타령이냐구? 무한집합은 우리가 생각하는 당연한 논리들이 통용되지 않아. 그래서 함수라는 방식을 통해서 이해하곤 하지.
우리가 어제 자연수의 집합이 무한집합이라고 했잖아? 그리고 위에 바이젝션을 봤고. 즉, 자연수 집합 N과 다른 무한집합 사이에서 바이젝티브 함수가 만들어진다면, 둘의 크기가 같다는 의미가 돼! 우옹 짱이다!

자연수의 집합과 같은 크기의 집합들

정수의 집합을 Z로, 유리수의 집합을 Q로 표기하자고 했던 말 기억하지? 우린 이제 자연수와 정수가 같은 크기의 집합, 즉 카디널리티가 같다라는 걸 보여줄거야.
다음과 같은 함수를 정의해보자.
f:N->Z （자연수에서 정수로 가는 함수, f를 만들자）
f（x） = x가 짝수라면, x/2 - 1
         x가 홀수라면, -（x+1）/2
자 이 함수는 원투원일까? 아무런 숫자들을 대입해보자!
x = 1이라면? 홀수니까, -（1+1）/2 = -1
x = 2 라면? 짝수니까 2/2 - 1 = 0
x = 3이라면? 홀수니까, -（3+1）/2 = -2
x = 4라면? 짝수니까 4/2 - 1 = 1
...
모든 자연수 x에 따라서 상응하는 정수가 하나씩만 배정돼. 즉 원투원（인젝티브） 함수라는 거지.
우리는 금방 어떤 패턴의 함수인지 눈치를 챌 수 있지. x가 홀수라면 임의의 음의 정수에, x가 짝수라면 임의의 양의 정수에 상응하는 함수인거야. 

이 함수는 온투（서젝티브） 함수일까?
임의의 정수에 따른 자연수 n값이 존재할까? 아무 정수나 한번 해보자.
-4632은 어때? f（n） = -4632 인 n값이 존재할까? 물론! n = 9263이면 되잖아. 홀수니까 -（9263+1）/2 = -4632.

즉 이 함수는 바이젝티브 함수야, 즉 자연수와 정수의 카디널리티는 같다는 거지! 이걸 수학적 기호로는 N~Z라고 써. N의 카디널리티와 Z의 카디널리티가 같다라는 뜻이야.

지름길?
사실 이렇게 함수론을 사용해서 두 집합의 크기가 같다고 증명할 수도 있고 다른 방법도 하나 있어. 흔히 말하는 지름길인데 이것은 수학자들 사이에서는 증명으로 인정할 수는 없지만 논리나 이해적 관점에서는 훨씬 간단하고 명료해서 어느정도는 사용되는 방식이야.
그 다른 방법은 N의 특이성과 같은데, N은 무한집합이지만, 우리가 원소를 하나하나 세어나갈 수 있어. 물론 모든 원소를 셀 수는 없지만 1, 2, 3, 4, 5, ... 이런 식으로 하나하나 셀 수는 있다는 뜻이지.
만약 어느 집합 A가 N과 같은 카디널리티라면, 바이젝티브 함수 f:A->N을 만들어서 A의 모든 원소를 해당 자연수로 바꾼 뒤, 자연수마냥 하나하나 셀 수 있다는 것이기도 해. 즉, 셀 수 있는 무한집합은 N과 크기가 같다는 의미지. 그래서 N을 우리는 "셀 수 있는 무한집합" 이라 해서 "가산무한집합（Countable Infinite Set）"이라고 해. 줄여서 CIS.


（미드 CSI와 NCIS와는 관련이 없다.）

증명으로 돌아가서...
다시 증명으로 돌아가 자연수집합 N과 유리수 집합 Q의 크기가 같다는 것을 위의 지름길을 사용해서 증명해볼까?

일단 그 이전에 NxN 집합에 대해서 배워볼게. NxN집합에 포함된 모든 원소는 （m,n）의 형식을 띄고 있어. 예제를 몇가지 들어보면...
（2,3）, （1,5）, （7,2）, （36,225） 등 모든 （자연수, 자연수） 의 원소를 갖는 집합이지. 그렇다면 N과 NxN중 뭐가 더 클까?

의외로 둘이 같아! 

다음 그림을 보자.

각각 칸 안에 들어있는 것이 NxN의 원소이고 파란색 숫자가 N의 원소라고 가정해봐. 
비록 표가 5에서 잘렸지만, 위의 화살표의 방법대로 센다면 우리는 NxN의 모든 원소를 하나하나 자연수마냥 세어나갈 수 있다는 것이지.
방금 전 이야기했지? 어느 무한집합이 세어나갈 수 있다는 것은 N과 크기가 같다는 것이라고, 즉 NxN은 N과 카디널리티가 같다!

신기하게도 위의 그림은 유리수 집합 Q와 같아
해당 원소 （p,q）를 p/q 로 표현해주기만 한다면 NxN은 Q와 사실상 같은 집합이라는 것을 쉽게 알 수 있지. 아래 그림처럼 말이야.

즉, Q집합도 N보다 훨씬 커보이지만 이렇게 하나하나 세어나갈 수 있어. 다시말해 N~Q라는 의미.

자 그렇다면 오늘 배운 것을 간단하게 정리해보자면...
N~Z~NxN~Q
즉 위의 네 개의 집합은 모두 크기가 같다! 그리고 이런 무한지합들의 카디널리티는 간지가 촬촬 넘치는...


이라는 기호를 사용해. 알레프 널（Aleph_Null） 혹은 알레프 제로（Aleph_Zero）이라고 하지.
셀 수 있는 무한집합의 카디널리티는 알레프 널이야.

자 이런 무한에는 어느 특이한 성질이 생기는 걸까? 수학자들 사이에서 미분귀신/적분귀신 보다 훠어어얼씬 유명한 글인 힐베르트의 호텔 패러독스를 아래에 간단하게 써볼게. 참고로 내가 요즘 써보려고 도전하고 있는 수학소설 힐베르트 호텔 q호실 살인사건도 여기서 따온 아이디어야.

힐베르트의 호텔 패러독스

힐베르트 호텔의 주인장인 힐베르트는 오늘도 걱정이다. 객실이 만원이고 손님은 하나도 나가려는 기미가 보이지 않기 때문이다. 물론, 손님이 만원이면 좋지 않냐 하겠지만, 힐베르트는 그렇게 마음이 모질지 못해서 들어오는 손님을 거절하기도, 그렇다고 이미 들어와 있는 손님보고 나가라고 할 위인은 못 되기 때문이다.

특이하게도 힐베르트 호텔은 객실이 무한히 많다. 아, 여기서 무한하다는 것은 자연수의 갯수와 동일, 즉 알레프 제로개의 방이 존재한다는 뜻이다. 투숙객은? 물론 알레프 제로명이 존재한다. 그래서 걱정이다. 한두명 손님이 빠져나가는 걸로는 의미가 없다. 어쩌다가 방의 갯수도 투숙객의 수도 알레프 제로가 되었는지는 모르겠지만, 항상 바람앞의 등불처럼 혹시 오늘 손님이 더 오지 않을까 위태위태한 상황이다. 그래서 힐베르트는 걱정이다. 하지만 프론트에서 일하는 칸토어는 뭐가 그리 좋은지 오전 내내 싱글벙글이다.



호텔 문이 열렸다. 제기랄! 힐베르트는 소리치고 싶었다. 어느 중년의 신사가 뚜벅뚜벅 찾아들어왔다. 손님 한명이 새로 찾아들어온 것이다.

"여기가 방이 무한히 많다는 힐베르트 호텔입니까? 저 역시 여기서 묵고 싶은데, 저를 위한 방도 있겠지요?"

힐베르트가 죄송하다고 말하려는 찰나 칸토어가 웃으며 대답했다.

"물론이죠, 저희 호텔은 누구에게나 방이 마련되어있습니다. 절대 찾아오는 손님의 기대를 저버리지 않는 호텔이지요. 잠시만 기다려주세요."

칸토어의 천연덕스러운 거짓말에 힐베르트는 프론트를 뛰어넘어 그의 멱살이라도 잡고 싶었지만, 손님이 있는 앞이라 그럴 수는 없는 노릇이었다.



이윽고 손님이 잠시 로비에 위치한 소파에 몸을 맡기자, 힐베르트는 프론트로 가서 칸토어에게 따졌다.

"방도 없는데 어쩌자고 거짓말을 하는건가?"

하지만 천연덕스럽게 칸토어는 웃으며,
"방이 없다면 만들면 되죠." 하더니, 호텔 전체가 들을 수 있는 안내방송용 마이크를 켰다.

"손님여러분, 안녕하십니까? 불편을 드려 죄송하지만, 방을 모두 한칸씩 옮겨주시길 바랍니다. 1호실 분은 2호실로, 2호실 분은 3호실로, n호실 분은 n+1호실로 옮겨주시길 바랍니다."

안내방송을 들은 힐베르트는 칸토어의 지혜에 탄복했다. 투숙객이 무한명이라 하지만, 방이 어차피 무한이기에, 모든 투숙객에게는 해당 방이 새롭게 하나씩 배정되는 셈이었다. 거기에 빈 방이 하나 생긴 샘! 칸토어는 정중히 중년의 신사에게 걸어가서 1호실의 열쇠를 드렸다.



그렇게 힐베르트의 호텔은 오늘도 손님하나 쫓아내거나 거절하는 일 없이 하루를 잘 마칠 수 있었다고 한다.


（하루를 잘 마치고 피곤에 절은 다비드 힐베르트/힐베르트의 호텔에서는 똥멍청이 소심쟁이로 묘사되었지만, 실상은 20세기의 가장 위대한 수학자 중 하나라구! 힐베르트의 호텔 역시 이 수학자양반이 만든 이야기）

무한이란 무엇인가? 3편에서는...

Aleph_1의 집합
멱집합
Aleph_0.5는 존재하는가? （연속체가설）

에 대하여 다룰거야.

[언어장애에게 추천은 힘이 됩니다.]
[모든 창작커는 추천을 받을 권리가 있습니다.]
[수학과 관련된 쪽지는 환영입니다.]

지금까지 수학을 전공하는 언어장애있는지우o입니다.

링크:
[수학특집] 무한이란 무엇인가? 1편:
http://web.humoruniv.com/board/humor/read.html?table=pds&st=name&sk=%BE%F0%BE%EE%C0%E5%BE%D6%C0%D6%B4%C2%C1%F6%BF%ECo&searchday=1month&pg=0&number=480546