여성은 언제까지 남자의 프로포즈를 튕길 수 있을지...

확률에 관한 짧은 지식으로 여성의 튕김의 끝은 어디인지 밝혀본다.


상황 설정은 이러하다.


한 여성에게 100명의 남자가 순차적으로 프로포즈 한다고 하자.

100명 중 백마탄 왕자는 한명 뿐이고, 여성는 그 남자를 찾고 싶어한다.


물론 그가 첫번째로 프로포즈할지 100번째로 프로포즈를 해 올지는 알 수 없을 것이다.

여자가 100명의 남자 중 제일 멋진 남자를 고른다는 건 너무 불공평하니까

한번 프로포즈한 남자를 튕기면 다시는 그 남자는 선택할 수 없다고 하자.


즉 만약 더 나은 남자가 있을 거라는 기대감에 99명의 남자를 차례로 튕겨버렸다면 100번째 프로포즈하는 남자와 결혼하는 수 밖에 없다.

물론 첫번째 남자의 프로포즈를 받아드리면 99명의 남자가 어떤 남자인지 보지도 못한다.

그러면 여자에게는 전략이 필요하다.







여자에게 몇명까지 튕겨보는게 가장 합리적인 전략이 될까?



조건부 확률을 생각해 볼 수 있다.



B : 여자가 백마탄 왕자를 정확하게 선택할 확률.

A1 : 백마탄 왕자가 첫번째로 프로포즈해올 확률.

A2 : 백마탄 왕자가 두번째로 프로포즈해올 확률.

.

.

.

A100 : 백마탄 왕자가 백번째로 프로포즈해올 확률.



그러면 여자가 백마탄 왕자를 정확하게 선택할 확률은 다음과 같이 표현된다.


P（B） = P（A1）*P（B|A1） + P（A2）*P（B|A2） + ... +P（A100）P（B|A100） ----（1）



이제 우리의 여성이 r명까지는 일단 튕겨보고

그 다음부터 만나는 남자 중 제일 멋진 남자와 결혼하기로 했다고 하자.


그러면 P（B|A1）=0, P（B|A2）=0, ..... , P（B|Ar）=0 이다.

（당연히...최초r명 안에 백마탄 왕자가 있었다면, r명까지는 튕기기로 한 여자의 작전은 완전...실패당.）


P（B|A（r+1））=1=r/r

（당연히 r+1번째로 백마탄 왕자가 프로포즈 해 왔다면 r명까지 튕긴 여자는 이전에 본 r명보다 더 멋진 남자를 바로 만나버린 거니까 백마탄 왕자 픽업할 확률은 100%다.）


P（B|A（r+2））=r/（r+1）

P（B|A（r+3））=r/（r+2）

...

P（B|A（99））=r/99

P（B|A（100））=r/100


r+2번째에 백마탄 왕자가 있는데 r+1번째 프로포즈 한 남자가 이전에 튕긴 r명보다 나은 남자였다면, 여자는 최초세운 전략상 그냥 r+1번째 남자의 프로포즈를 받아들이게 되고 그러면 r+2번째 남자는 보지도 못하니까, 여자의 입장에서는 또 전략상 실패다.

따라서 r+2번째 남자（백마탄 왕자）의 프로포즈를 받기 위해서는 r+1번째 남자가 기존의 r명보다 나은 남자여서는 안될 것이다.

다시 말해

백마탄 왕자보다 앞서서 프로포즈 하는 남자중 가장 괜찮은 남자가

r번째이전（r번째 포함）에 여자에게 프로포즈를 하면 된다.

r+1번째에만 있지 않으면 된다.

1,2,3,...,r,r+1번째 중 r+1번째만 아니면 되니까 확률은 r/（r+1）이다.


같은 방식으로 백마탄 왕자가 r+3번째로 프로포즈를 한다면

r+1번째 r+2번째에 여자가 프로포즈를 받아들여버리면 안된다.

그러려면 백마탄 왕자 이전의 남자들 중 가장 멋진 남자가

r번재 이전（r번째 포함）에 있으면 된다.


그러면 r+1번째, r+2번째 남자가 r번째까지의 남자보다 멋질 수 없으므로

여성는 r+3번째 남자가 어떤 남자인지 살필 기회를 갖게 된다.

확률은 r/（r+2）


이런 식으로 동일 한 풀이 과정을 거치면 백마탄 왕자가 백번째로 프로포즈 해올때 여자가 백번까지 기다려서 그 왕자를 선택할 확률은 r/100


이 결과를 （1）식에 대입하면


..100....1......r

sigma..--- * .---

..x=r..100......x


이것이다! 드디어 r에 관한 함수가 나왔다.

항수가 많으니까 그냥 연속적으로 생각해서 적분을 하자.


.......................1.......r

integral r->100 --- * --- dx

......................100......x



...r.........100

= --- [lnx]

..100........r


어차피 우리는 위의 값을 최대로 만드는 r값을 찾는거니까, 그리고 상수항과 계수는 신경 안써도 되니까


d

-- [ r{ln100} - r {ln r } ]= 0 을 만드는 r을 찾자.

dr




（답）


r = 37



답이 나왔다. 37명이다.

보통 한 여자에게 프로포즈하는 남자의 숫자가 10명이라고 하면

여자는 최초 3명까지는 튕겨볼 수 있어도 4명부터는 튕겨서는 안된다는 계산이 나온다.

그냥 괜찮다 싶으면 잡아야 된다는 것이다.

솔직히 10명도 많다.

보통 여성에게 프로포즈 하는 남자가 5명쯤 된다면

최초 한명 쯤은 공주병 환자처럼 튕겨볼 수 있으나

두번째 남자가 프로포즈해올 경우...

첫번째 남자보다 낫기만 하다면 프로포즈를 받아들여야 한다는 것이다. 그만 튕기고...



뭇 남성들이여~


만약 사귀자고 했는데도 그녀가 튕긴다면...


그 여자 눈앞에다 연습장 펼쳐놓고 인테그랄 한번 풀어주자..













감동이오 （2002-08-29 22:33:42）

본햏자 군대 가기전에 본 글이외다.... 새로와서 유효!!





똥꼬가움찔 （2002-08-29 22:34:28）
뭐요??러시아어요???도대체 무슨문자인지 이거참 허허허





아짷 （2002-08-29 22:34:56）

귀차니즘이오............

간단간단하게..............

아 O O





광복군 （2002-08-29 22:35:41）
헉...소햏...제정신이 아니가 보오...이 글을 다읽었단 말이오...흙..





농사꾼 （2002-08-29 22:35:58）

귀차니즘이오.. 요약바라오.

본문 안읽었오..

마지막멘트가 아 O O 하오.. 명심하겟소.





아 （2002-08-29 22:51:37）

본좌가보기엔 상당히심기가불편하오

남자가 심심해서프로포즈하는줄아시오?

참고로본좌는아직중학생이라오 ;;





초햏자 （2002-08-29 23:11:24）

허업...참으로 아 O O 이요...





♨ （2002-08-29 23:16:10）

2000년 수능 수리영역 31번 문제로 나온 문제요..





스티브 （2002-08-29 23:41:49）

둥둥둥둥 소리가 들려오오.





세모햏 （2002-08-29 23:43:20）
수리영역은 30번까지 있다오.. 쩝...





겨리 （2002-08-29 23:46:25）

본지 1년도 넘은 글이구려...

하지만, 감동했던 글에 또 감동했으므로 유효!!