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깊고 어두운? 물리강의 - 스피너 (1) [2]

작성자

사니양

쪽지 | 작성자 글보기

번호 11955186 추천 1 반대 0 답글 2 조회 51 작성시간 2025-11-29 16:15:23

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1. 서문

Q : 이건 왜 쓴 거에요???
A : 고전역학 올리는 텀 길어지는 거 같아서 u///u...

Q2 : 뭐 할 거에요???
A2 : 여기는 고전역학시리즈에 비해 좀 덜 연속적이고 심화되었다고 생각하는 주제에 대해 다룹니다. 그래서 고전역학보단 설명이 불친절하거나 부정확한 부분이 있을 수 있습니다. 일단 spinor 개념부터 시작할 건데 spinor 로 몇 강을 할 지는 모르겠습니다.

Q3 : 보면 뭐가 좋아요???
A3 : 고전역학 시리즈와 비슷합니다. 웃대켜놓고 공부하는 척 할 수 있습니다.

1.1. 서문 （아마도 진짜 서문）

고전역학도 그렇지만 이 시리즈는 처음 준비해보니까 이걸 어디까지 깊게 파야하는지, 어디를 생략하고 어디를 풀어써야할지 （그리고 진짜 드립 넣기가 막막합니다.） 감이 잘 안 옵니다. 처음엔 욕심부려서 한 강의에 끝내려고 했는데 지금 스핀 역사적 설명만 한바닥을 먹었는데 말도 안 되는 것 같고... 저도 수학적인 개념을 하나하나 증명해가면서 할 것도 아니고 필요한 개념을 가져다 쓰는 정도로 들고 갈 예정이기에 난이도와 별개로 내용이 아주 알찰 것이라고는 장담 못 드리겠습니다（?）

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2. 스핀 - 역사적 맥락

1913 년에 보어가 제시한 원자 모형은 전자가 양자화된 궤도를 돌고 있다는 내용과 함께 수소 원자의 설명을 해냈습니다.
전자가 양자화된 궤도로 원운동하고있다는 이론을 바탕으로, 전자가 도는 궤도가 양자화되어있다면 전자의 각운동량도 양자화 된 값으로 구할 수가 있겠지요. 여기까지는 큰 문제가 없어 보입니다.

그림 설명: （좌） 전자의 발견을 바탕으로 구성한 톰슨의 원자 모형은 양전하를 띤 원자에 음전하를 띤 전자가 박혀 있습니다. （중） 이후 알파선 산란 실험을 통해 원자핵의 존재를 알게 된 뒤에 구성된 러더퍼드의 원자 모형은 양전하를 띤 원자핵 주위를 전자가 행성처럼 돌고 있다고 가정한 모형입니다. 문제는 이 경우 전자가 필연적으로 전자기파를 방출하며 원자핵 방향으로 끌려들어가야한다는 것이었습니다. （우） 이후 보어가 제시한 원자 모형은 전자가 정상파의 형태로 정해진 궤도에서만 원운동한다면 원자핵으로 끌려들어가지 않을 수 있다는 이론입니다. 정해진 궤도 외의 구역에는 전자가 존재할 수 없다는 것이 핵심입니다. 궤도를 왔다갔다 할 때에는 빛의 형태로 에너지를 흡수해서 더 높은 번호의 궤도로 올라가거나, 빛을 방출하면서 더 낮은 에너지 궤도로 떨어져야 합니다. 이 때 방출하거나 흡수하는 빛（선 스펙트럼）을 관측하는 것으로 전자가 어느 에너지 궤도에서 어느 에너지 궤도로 넘어갔는지를 알 수 있게 해줍니다.

문제는 이후 수소가 방출하는 선 스펙트럼 중 n = 3 에서의 스펙트럼이 한 줄인줄 알았더니 사실 아주 가깝게 붙어있는 두 개의 선인데, 강한 자기장을 걸어보니 그 간격이 아주 많이 커져서 （강한 자기장에서 발생하는 비정상 제만 효과입니다.） 기존까지 알려졌던 주양자수, 각운동량 양자수, 자기 양자수 외에 전자의 상태를 정의하는 다른 양자수가 필요해진 것입니다.

사실 저기까지만 해도 뭔가 더 설명할 것이 남았다 정도의 문제였습니다. 하지만 이후 1922 년 슈테른-게를라흐 실험을 통해 상황이 완전히 뒤집히게 됩니다. 중성인 은 원자들을 불균일한 자기장 속으로 쏘면, 고전적으로는 원자 하나하나가 작은 자석처럼 다양한 방향을 가질 수 있으니, 검출 화면에는 얼핏 퍼진 연속적인 무늬가 생길 것이라고 예상했습니다. 하지만 실제론 두 줄로 또렷하게 분리된 자국이 나타났고, 은 원자들이 가질 수 있는 어떤 방향이 딱 두 가지로 양자화되어 있다는 사실이 드러난 것입니다. 이는 전자가 양자화된 궤도를 '돌고' 있는 것 만으로는 설명이 불가능할 뿐만 아니라, 기존에 존재하던 양자수 외에 새로운 양자수가 도입될 필요성을 분명히 보여주고 있었습니다.

당시 비정상 제만 효과를 연구하고 있던 파울리는 1925 년에 전자에 두 가지 값을 가지는 새로운 자유도가 있을 것이라는 가설을 세웁니다. 그리고 울렌백과 구드스미트가 전자가 자전하고 있다 가정하고 스핀이라는 물리량을 제시합니다. 사실 울렌백과 구드스미트 이전에 랄프 크로니히와 알프레드 란데가 전자가 자전하고있다는 말을 먼저 하였으나 공교롭게도 파울리가 개 까면서 발표하진 않았습니다. 개 까인 이유는 상당히 합리적인데, 전자가 물리적으로 자전한다면 그 표면 속도가 빛의 속도를 넘어가기 때문입니다. 이후 울렌백과 구드스미트가 스핀을 발표했을 때도 같은 이유로 하이젠베르크 등 유수의 물리학자들에게 같은 이유로 개까입니다.

심지어 스핀 이론을 처음 발표했을 때는 실험값과 항상 두 배 정도 값이 차이가 나고 있었습니다. 파울리는 자신이 주장했던 두 가지 값을 가지는 새로운 자유도에 대한 연구를 계속하였고 새로운 자유도를 행렬 형태로 기술하는데에서 발전된 파울리 행렬은 나중에 스핀을 기술하는 좋은 도구가 됩니다. 그 사이 상대론적 효과를 고려하면 스핀 이론과 실험 사이의 두 배 값 차이를 설명할 수 있게 되면서 스핀 이론에 볕 들 날이 오는 중이었습니다.

그러다 1928 년, 폴 디랙이 기술한 디랙방정식을 통해 전자를 상대론적으로 기술해내니 그 방정식에는 자연스럽게 스핀이 있을 수 밖에 없다는 결론이 나온 것입니다. 결론적으로 전자가 실제로 자전하고 있는 것은 아니지만, 각운동량과 유사한 거동을 보이는 전자의 새로운 양자수는 실재하고 있었던 것입니다. 그것의 이름은 처음 그 이론이 제시되었던 떄의 스핀이라는 이름을 가진 채 전자의 자전이 아닌 더욱 근본적인 물리량으로 지금도 학부생들의 머리를 쥐어짜는 존재가 되었다는 이야기입니다.

제가 학부 양자역학에서 스핀을 배울 땐 파울리 행렬과 스피너를 바로 도입하고 그것들의 기본적인 성질을 공부한 뒤 앞에서 말했던 비정상 제만 효과나 자성체를 설명하는 식으로 배웠습니다. 디랙 방정식은 상대론을 배우기 전일 뿐더러 양자장론 수준에서 나오니 다룰 수 없었죠. 하지만 이 강의 첫 주제로 스피너를 선택한 이유가 제가 스터디 주제로 스피너 준비하다가 빡쳐서임을 감안하면 저는 조금 다른 접근을 가져갈 겁니다. 사실 표준모형의 입자라는 놈들이 4 차원 평행이동과 로런츠 군의 반직접곱인 푸앵카레 군의 기약표현이고 스핀 1/2 입자들의 거동이 로런츠 군을 덮는 전역 덮개인 SL（2, C） 의 규칙을 따른다는 점에서 근본적인 스피너의 설명은 필연적으로 좀 더 깊은 수학을 끼얹을 수밖에 없습니다.

스피너를 공부하다보면 꼭 위키 링크를 타고타고 들어가 위상공간까지 들어오더랩니다. 너무 깊게 파는 것은 안 좋다고들 하지만 성격상 그렇지 않기도 힘들어서 공부 빠르게 해야 할 때는 제끼고, 시간 여유 있을 땐 이것저것 퍼먹다 보면 이야 이게 또 맛은 있습니다. （다 겉핥기식으로 퍼먹어서 그렇습니다. 요즘 세상이 참 좋아졌어요 위키랑 지피티만 있으면 원하는 지식을 나름 쉽게 퍼먹을 수가 있더랍니다.） 그래서 가장 제약조건이 적은 위상공간부터 시작해서 분리 공간, 거리 공간, 다양체, 미분 다양체, 로런츠 다양체, 로런츠 군, 덮개, 푸앵카레 군, 리 대수 이런 걸 해야하는데 저도 이게 얼마나 걸릴지 언제 끝날 지 모르겠다는 것은 함정입니다. 며느리도 몰름.

위상공간부터 시작합시다.

다음 시간엔 아마 기저와 분리공간을 정의하는 것을 하게 될 것 같은데... 올려놓고보니 정말 더 상세하게 하고싶긴 한데... 나중에 pdf 에라도 상세하게 끼워넣어서 다시 링크를 올리던가 해 봐야겠습니다...

pdf link : https://drive.proton.me/urls/N4CDKGTFD0#GXDJeID7caBT

pdf 링크는 다음 강의가 올라오면 이전 링크는 만료됩니다. 강의자료는 누적으로 업데이트되니 최신링크로 받으시면 이전 내용도 같이 포함되어 있습니다.

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컴미나

좋은자료네요... 비전공자는 아마 이해못할것같긴하지만요...