이 글은 한 웃대인분께서 던지신 질문에 대한 답입니다.

질문: 왜 1부터 시작해 홀수들을 더하면 제곱수가 나올까? 수식으로 표현하자면
1+3 = 4 = 2^2
1+3+5 = 9 = 3^2
1+3+5+7 = 16 = 4^2
...
이처럼 1부터 n개의 홀수들의 합은 n^2이 나올까?

해당 질문에 대한 답은 그림으로 쉽게 설명할 수 있습니다.

먼저 좌하단에 하늘색 구슬 1개를 배치합니다.
그 구슬 주변으로 파란색 구슬 3개를 둘러싸듯 배치합니다.
하늘색과 파란색 구슬은 2x2 꼴의 정사각형을 이루며, 구슬들의 개수는 4개입니다.

여기에 분홍색 구슬 5개를 둘러싸듯 배치합니다.
하늘, 파랑, 분홍색 구슬은 3x3꼴의 정사각형을 이루며, 총 9개입니다.
해당 아이디어를 계속해서 적용해, 홀수들의 합은 항상 제곱수가 된다는 사실을 보일 수 있습니다.

예컨대 1+3+5+7+9를 해서 5x5의 정사각형을 만들게 된다면
그 다음에 더할 수 11（빨간색）은 5+1+5로 표현이 가능한데,
기존의 5x5 정사각형을 윗줄 5개 + 우상단 1개 + 오른쪽 줄 5개, 총 11개의 구슬로 에워싸서
6x6의 정사각형을 만들어낼 수 있습니다.